Question

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足以下三個條件：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0； 
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，并且稱f（x）為“友誼函數”，
請解答下列各題：
（1）若已知f（x）為“友誼函數”，求f（0）的值；
（2）函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上是否為“友誼函數”？并給出理由．
（3）已知f（x）為“友誼函數”，且 0≤x₁＜x₂≤1，求證：f（x₁）≤f（x₂）．

Answer 1

分析：（1）直接取x₁=x₂=0利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）可得：f（0）≤0，再結合已知條件f（0）≥0即可求得f（0）=0；
（2）因為g（x）=2^x-1在[0，1]上滿足①g（x）≥0；②g（1）=1，所以只須證其滿足條件③即可，因為有g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2 x2-1)]=(2x1-1)(2 x2-1)≥0．故成立．
（3）由0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁＜1，故有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），即得結論成立．

解答：解：（1）取x₁=x₂=0
得f（0）≥f（0）+f（0），
又由f（0）≥0，得f（0）=0
（2）解：顯然g（x）=2^x-1在[0，1]上滿足①g（x）≥0；②g（1）=1
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
則有g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2 x2-1)]=(2x1-1)(2 x2-1)≥0．
故g（x）=2^x-1滿足條件①﹑②﹑③
所以g（x）=2^x-1為友誼函數．
（3）解：因為0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁＜1，
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
故有f（x₁）≤f（x₂）．

點評：本題主要是在新定義下對抽象函數進行考查，在做關于新定義的題目時，一定要先研究定義，在理解定義的基礎上再做題．