Question

（本小題滿分14分）

已知函數，當時，取得極小值.

（1）求，的值；

（2）設直線，曲線.若直線與曲線同時滿足下列兩個條件：

①直線與曲線相切且至少有兩個切點；

②對任意都有.則稱直線為曲線的“上夾線”.

試證明：直線是曲線的“上夾線”.

（3）記，設是方程的實數根，若對于定義域中任意的、，當，且時，問是否存在一個最小的正整數，使得恒成立，若存在請求出的值；若不存在請說明理由.

Answer 1

（1），…………………………………………3分

（2）由，得，當時，此時，，所以是直線與曲線的一個切點，當時，，，，

所以是直線與曲線的一個切點  所以直線與曲線相切且至少有兩個切點……6分

對任意，

所以,因此直線：是曲線：的“上夾線” …9分

（3）方法一： ，為的根，即，也即，………10分

而∴，

∴………………………………13分

所以存在這樣最小正整數使得恒成立.………………14分

方法二：不妨設，因為，所以為增函數，所以

又因為，所以為減函數，所以所以，………………………………………………………………11分

即………13分

故存在最小正整數，使得恒成立………………………14分