Question

如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E、F 分別是棱AA'，CC'的中點，過直線E、F的平面分別與棱BB′，DD′交于M、N，設BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①當且僅當x=0時，四邊形MENF的周長最大；
②當且僅當x=時，四邊形MENF的面積最小；
③四棱錐C′-MENF的體積V=h（x）為常函數；
④正方體ABCD-A′B′C′D′被截面MENF平分成等體積的兩個多面體．
以上命題中正確命題的個數（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：①判斷周長的變化情況．②四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可．③求出四棱錐的體積，進行判斷．④計算兩個多面體的體積關系．
解答： 解：①因為EF⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當x∈[0，]時，EM的長度由大變小．當x∈[，1]時，EM的長度由小變大．
      所以當x=0或x=1時周長都為最大值．所以①錯誤．
②連結MN，因為EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時當M為棱的中點時，即x=時，此時MN長度最小，對應四邊形MENF的面積最小．所以②正確．
③連結C'E，C'M，C'N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以C'EF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐．因為三角形C'EF的面積是個常數．M，N到平面C'EF的距離是個常數，所以四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數，所以③正確．
④因為E，F是固定的中點，所以當M在運動時，AM=D'N，DN=B'M，所以被截面MENF平分成的兩個多面體是完全相同的，所以它們的體積也是相同的．所以④正確．
所以四個命題中②③④是真命題．
所以選B．
點評：本題考查空間立體幾何中的面面垂直關系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題和函數進行的有機的結合，綜合性較強，設計巧妙，對學生的解題能力要求較高．