Question

如圖1，在邊長為3的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD=AE，F是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF，其中BC=

3 2

2

（1）證明：DE∥平面BCF；     
（2）證明：CF⊥平面ABF；
（3）當AD=

2

3

時，求三棱錐F-DEG的體積V_F-DEG．

Answer 1

分析：（1）根據面面平行的性質定理證DE∥平面BCF．
（2）利用線面垂直的判定定理證明CF⊥平面ABF．
（3）根據三棱錐的體積公式求體積即可．

解答：解：（1）在等邊三角形ABC中，AD=AE，
∴DE∥BC，DG∥BC，GE∥FC
在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立，
∵DG∩GE=G，
∴面DGE∥面BFC，又DE?面DGE，
∴DE∥平面BCF．
（2）在等邊三角形ABC中，F是BC的中點，
∴AF⊥BC，即AF⊥CF ①，
在邊長為3的等邊三角形ABC中，BF=FC=

3

2

．
∵在三棱錐A-BCF中，BC=

3 2

2

，
∴BC²=BF²+CF²，∴CF⊥BF②．
又∵BF∩AF=F，
∴CF⊥平面ABF．
（3）由（1）可知GE∥CF，結合（2）可得GE⊥平面DFG．
∴三角形EGD為等腰直角三角形．
∵AD=

2

3

，
∴DG=GE=

1

2

AD=

1

2

×

2

3

=

1

3

．
∵AF=

3 3

2

，AG=

3

3

，
∴GF=AF-AG=

3 3

2

-

3

3

=

7 3

6

．
∴三棱錐F-DEG的體積V_F-DEG=

1

3

×

1

2

×

1

3

×

1

3

×

7 3

6

=

7 3

324

．

點評：本題主要考查了空間直線和平面平行，以及直線和平面垂直的判定，以及空間幾何體的體積的計算，要求熟練掌握相應的判定定理，以及體積公式，考查學生的運算能力．