Question

下列命題
①關于x，y二元一次方程組

mx+y=-1 3mx-my=2m+3

的系數行列式D=0是該方程組有解的必要非充分條件；
②已知E，F，G，H是空間四點，命題甲：E，F，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的充分不必要條件；
③“a＜2”是“對任意的實數x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”的充要條件；
④“p=0或p=4”是“關于x的實系數方程

p

x

=x+p有且僅有一個實數根”的非充分非必要條件．
其中為真命題的序號是

②④

．

Answer 1

分析：①系數行列式D≠0，關于x，y二元一次方程組

mx+y=-1 3mx-my=2m+3

有唯一解，系數行列式D=0，D_x≠0或D_y≠0，關于x，y二元一次方程組

mx+y=-1 3mx-my=2m+3

無解，系數行列式D=0，Dx=Dy=0 ，關于x，y二元一次方程組

mx+y=-1 3mx-my=2m+3

有無窮組解；②已知E，F，G，H是空間四點，命題甲：E，F，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲⇒乙，乙推不出甲；③“a＜2”⇒“對任意的實數x，|x+1|+|x-1|≥a”，“對任意的實數x，|x+1|+|x-1|≥a”推不出“a＜2”；④“p=0或p=4”推不出“關于x的實系數方程

p

x

=x+p有且僅有一個實數根”，“關于x的實系數方程

p

x

=x+p有且僅有一個實數根”推不出“p=0或p=4”．

解答：解：①系數行列式D≠0，關于x，y二元一次方程組

mx+y=-1 3mx-my=2m+3

有唯一解，
系數行列式D=0，D_x≠0或D_y≠0，關于x，y二元一次方程組

mx+y=-1 3mx-my=2m+3

無解，
系數行列式D=0，Dx=Dy=0 ，關于x，y二元一次方程組

mx+y=-1 3mx-my=2m+3

有無窮組解，
故關于x，y二元一次方程組

mx+y=-1 3mx-my=2m+3

的系數行列式D=0是該方程組有解的非必要非充分條件．
故①不正確；
②已知E，F，G，H是空間四點，命題甲：E，F，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，
則甲⇒乙，乙推不出甲，故②正確；
③設y=|x+1|+|x-1|，
由x+1=0，得x=-1；由x-1=0，得x=1．
當x≥1時，y=2x≥2；
當-1≤x＜1時，y=2；
當x＜-1時，y=-2x＞2．
故|x+1|+|x-1|≥2．
∴“a＜2”⇒“對任意的實數x，|x+1|+|x-1|≥a”，
“對任意的實數x，|x+1|+|x-1|≥a”推不出“a＜2”．
故“a＜2”是“對任意的實數x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”的充分不必要條件，
故③不成立；
④“p=0或p=4”推不出“關于x的實系數方程

p

x

=x+p有且僅有一個實數根”，
“關于x的實系數方程

p

x

=x+p有且僅有一個實數根”推不出“p=0或p=4”，
故④成立．
故答案為：②④．

點評：本題考查必要條件、充分條件、充要條件的性質和應用，是基礎題．解題時要注意行列式、空間幾何、不等式、方程等知識點的靈活運用．