Question

如圖，拋物線

（I）；
（II）

Answer 1

（I）p=2（II）

（I），該拋物線上任意一點的切線斜率為
，即
故，切線MA的方程為，又因為點
 ，代入拋物線得
聯立解得p=2
（II）設，由N為線段AB的中點可得
，切線MA,MB的方程為
，，兩式聯立求得交點M的坐標
由，再由
可得，經檢驗當A,B重合于坐標原點是方程也滿足，因此AB中點N的軌跡方程為

第一小題主要是要求學生把題目所給的拋物線方程轉化成二次函數，從而想到切線的斜率即為該點的導數值，求得切點坐標，寫出切線方程，進而求得p的值。
第二小題主要是尋找點M與點N的關系，通過設出各點的坐標，充分利用點在曲線上及他們之間的關系，代入建立間的關系，最后運用點M在已知曲線上求得x與y的關系。本題在求解過程中注意整體消參的方法。最后不要漏掉對特殊點即原點的考慮。
【考點定位】本題考查拋物線的性質，導數的意義，曲線的方程，整體代入消參求動點的軌跡。