Question

符號[x]表示不超過x的最大整數，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數{x}=x-[x]，給出下列四個命題
（1）函數{x}的定義域為R，值域為[0，1]；
（2）方程{x}=

1

2

有無數個解；
（3）函數{x}是周期函數；
（4）函數{x}是增函數．
其中正確命題的序號有（　　）

A．（2）（3）

B．（1）（4）

C．（3）（4）

D．（2）（4）

Answer 1

分析：利用[x]的定義，結合函數的定義域，值域周期性和單調性的定義分別進行判斷．由周期函數的定義證明此函數為周期函數，使求出一個周期的上的值域，即為整個函數的值域，周期函數不是單調函數

解答：解：（1）當0≤x＜1時，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數{x}的值域為[0，1），∴（1）錯誤．
（2）當x=

1

2

時，{x}=

1

2

，又∵函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，∴x=

1

2

+k時（k∈Z），{x}=

1

2

，∴（2）是正確的，
（3）∵函數{x}的定義域為R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，∴函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，∴（3）是正確的，
（4）∵函數{x}是周期為1的函數，∴函數{x}不是單調函數，∴（4）錯誤．
故選A．

點評：本題考查新定義函數 {x}=x-[x]的意義，通過舉反例來說明某個命題的正確性，是一種簡單有效的方法．