Question

已知拋物線C的頂點為O（0，0），焦點為F（0，

1

4

）．
（Ⅰ）求拋物線C的標準方程；
（Ⅱ）過拋物線C上的任意一點A（異于原點）向圓I：x²+（y-2）²=r²（0＜r＜1.2）引兩條切線AB、AC，交拋物線于點B、C兩點，若恒有直線BC與圓I相切，求圓I的半徑r的值．

Answer 1

分析：（I）由拋物線的標準方程與基本概念，結合題中數據加以計算，可得拋物線C的方程為x²=y；
（II）設A（x₁，x12）、B（x₂，x22）、C（x₃，x32），其中x_i≠0且x_i≠±r（i=1，2，3）且橫坐標互不相等．求出直線AB、AC、BC的方程，根據AB與圓I相切利用點到直線的距離公式列式并化簡，算出x₂、x₃是一元二次方程（x₁²-r²）x²+（4-2r²）x₁x+4-r²-r²x12=0的兩個根．利用根與系數的關系得到用x₁、r²表示x₂+x₃和x₂x₃的式子．由BC與圓I相切得

|2+x3x2|

(x3+x2)2+1

=r，代入前面求出的式子化簡得r²x₁⁴+r²（4r⁴-18r²+16）x₁²+r⁶=（2-r²）²x₁⁴+2（4-3r²）（2-r²）x₁²+（4-3r²）²，再采用比較系數法建立關于r²的等式，解之可得r的值．

解答：解：（Ⅰ） 根據題意，設拋物線C的標準方程為x²=2py，
∵焦點為F（0，

1

4

），得

p

2

=

1

4

，
∴2p=1．可得拋物線C的標準方程為x²=y．
（Ⅱ）設A（x₁，x12），B（x₂，x22），C（x₃，x32），
其中x_i≠0，x_i≠±r且橫坐標互不相等，（i=1，2，3），
則AB的斜率k_AB=

x12-x22

x1-x2

=x₁+x₂，得直線AB的方程為：y-x12=（x₁+x₂）（x-x₁），
化簡得（x₁+x₂）x-y-x₁x₂=0，
同理可得直線AC的方程為（x₁+x₃）x-y-x₁x₃=0，直線BC的方程為（x₂+x₃）x-y-x₂x₃=0．
∵直線AB與圓I相切相切，∴圓心到AB的距離等于圓I的半徑，即

|2+x1x2|

(x1+x2)2+1

=r，
化簡得（x₁²-r²）x22+（4-2r²）x₁x₂+4-r²-r²x12=0，同理得（x₁²-r²）x32+（4-2r²）x₁x₃+4-r²-r²x12=0，
∴x₂、x₃是一元二次方程（x₁²-r²）x²+（4-2r²）x₁x+4-r²-r²x12=0的兩個根．
可得x₂+x₃=

x1(2r2-4)

x12-r2

，x₂x₃=

-r2+4-r2x12

x12-r2

由直線BC與圓I相切，得

|2+x3x2|

(x3+x2)2+1

=r，代入上式化簡，
得r²x₁⁴+r²（4r⁴-18r²+16）x₁²+r⁶=（2-r²）²x₁⁴+2（4-3r²）（2-r²）x₁²+（4-3r²）²，
由x₁的任意性，可知若上式恒成立，必須有

r2=(2-r2)2 r2(4r 4-18r2+16)=2(4-3r2)(2-r2) r6=(4-3r2)2 0＜r＜1.2

，解之得r=1．

點評：本題給出拋物線滿足的條件，求拋物線的方程，并依此求△ABC的內切圓半徑．著重考查了拋物線的標準方程與簡單幾何性質、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．