Question

（2005•普陀區一模）求證：不存在虛數z同時滿足：①|z-1|=1；②k•z²+z+1=0（k為實數且k≠0）．

Answer 1

分析：由已知中虛數z同時滿足：①|z-1|=1；②k•z²+z+1=0，我們設z=a+bi（a，b∈R，且b≠0），并構造關于a，b的方程組，進而根據方程組無滿足條件的解，得到結論．

解答：解：假設存在虛數z=a+bi（a，b∈R，且b≠0）同時滿足兩個條件，
即

(a-1)2+b2=1 z+ . z =2a=- 1 k z• . z =|z|2=a2+b2= 1 k

⇒

a2+b2-2a=0 a2+b2+2a=0

⇒a=b=0
與假設b≠0矛盾，
∴不存在虛數z同時滿足①②兩個條件．

點評：本題考查的知識點是復數的基本概念，復數的代數表示法及其幾何意義，其中利用反證法，是證明此類存在性問題最常用的方法．