Question

已知直線l：x-y+4=0與圓C：（x-1）²+（y-1）²=2，則C上各點到l的距離的最大值與最小值之差為

 

．

Answer 1

分析：判斷直線與圓相離，過圓心C作CD與已知直線垂直，垂足為D，與圓交于A與B兩點，則|AD|、|BD|分別為圓上的點與直線距離的最大值與最小值，然后利用點到直線的距離公式求出C到已知直線的距離，加半徑減半徑即可求出|AD|與|BD|的值，從而可得結論．

解答：解：由題意可知當直線AC與直線x-y+4=0垂直時，垂足為D，且與圓交于A、B兩點，此時圓上的點與直線x-y+4=0的最大值為|AD|，
最小值為|DB|，
由圓的方程可得圓心坐標為（1，1），半徑r=|AC|=|BC|=

2

，
而圓心C到直線x-y+4=0的距離d=|CD|=

|1-1+4|

2

=2，
則圓上的點與直線x-y+4=0距離的最大值|AD|=|AC|+|CD|=3

2

，
最小值|BD|=|CD|-|CB|=

2

．
所以C上各點到l的距離的最大值與最小值之差為2

2

．
故答案為：2

2

．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，以及靈活運用數形結合的數學思想解決實際問題是關鍵．