Question

某企業2003年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業的生產能力將逐年下降．若不能進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500（1+

1

2n

）萬元（n為正整數）．
（Ⅰ）設從今年起的前n年，若該企業不進行技術改造的累計純利潤為A_n萬元，進行技術改造后的累計純利潤為B_n萬元（須扣除技術改造資金），求A_n、B_n的表達式；
（Ⅱ）依上述預測，從今年起該企業至少經過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題設，A_n=（500-20）+（500-40）+…+（500-20n），B_n=500[（1+

1

2

）+（1+

1

22

）+…+（1+

1

2n

）]-600．由此能夠導出A_n、B_n的表達式．
（Ⅱ）由題意知B_n-A_n=（500n-

500

2n

-100）-（490n-10n²）=10n²+10n-

500

2n

-100=10[n（n+1）-

50

2n

-10]．再由函數的單調性可知至少經過4年，該企業進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤．

解答：解：（Ⅰ）依題設，A_n=（500-20）+（500-40）+…+（500-20n）=490n-10n²；
B_n=500[（1+

1

2

）+（1+

1

22

）+…+（1+

1

2n

）]-600=500n-

500

2n

-100．
（Ⅱ）B_n-A_n=（500n-

500

2n

-100）-（490n-10n²）
=10n²+10n-

500

2n

-100=10[n（n+1）-

50

2n

-10]．
因為函數y=x（x+1）-

50

2n

-10在（

1

2

，+∞）上為增函數，
當1≤n≤3時，n（n+1）-

50

2n

-10≤12-

50

8

-10＜0；
當n≥4時，n（n+1）-

50

2n

-10≥20-

50

16

-10＞0．
∴僅當n≥4時，B_n＞A_n．
答：至少經過4年，該企業進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤．

點評：本題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式的等基礎知識，考查運用數學知識解決實際問題的能力．