Question

已知點P是雙曲線

x2

9

-

y2

3

=1右支上的任意一點，由P點向雙曲線的兩條漸近線引垂線，垂足為M和N，則△PMN的面積為（　　）

• A．

  3

  9

• B．

  9

  16

• C．

  9 3

  16

• D．

  2 3

  9

Answer 1

分析：根據題意，算出雙曲線的漸近線方程為y=±

3

3

x，可得漸近線的夾角為60°，由四邊形內角和定理算出，∠MPN=120°．設P（m，n），根據點到直線的距離公式分別算出|PM|、|PN|關于m、n的式子，結合雙曲線方程算出|PM|•|PN|=

3

4

，最后根據正弦定理的面積公式即可算出△PMN的面積．

解答：解：∵雙曲線

x2

9

-

y2

3

=1的漸近線方程為y=±

3

3

x，即x±

3

y=0
∴兩條漸近線的夾角為60°
∵PM⊥OM且PN⊥ON，∴∠MPN=120°
設P（m，n），可得
|PM|=

|m- 3 n|

2

，且|PN|=

|m+ 3 n|

2

可得|PM|•|PN|=

|m2-3n2|

4

=

3

4

因此，△PMN的面積為S=

1

2

|PM|•|PN|sin120°=

9 3

16

故選：C

點評：本題給出雙曲線上一點P，P在兩條漸近線上的射影點分別為M、N，求△PMN的面積．著重考查了雙曲線的簡單幾何性質、四邊形內角和定理和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．