Question

若函數f（x）同時具有以下兩個性質：①f（x）是偶函數；②對任意實數x，都有f(

π

4

+x)=f(

π

4

-x)，則f（x）的解析式可以是（　　）

• A．f（x）=cos2x
• B．f(x)=cos(2x+

  π

  2

  )
• C．f（x）=cos6x
• D．f(x)=sin(4x+

  π

  2

  )

Answer 1

分析：考查各個選項中的函數是否是偶函數，且圖象關于x=

π

4

對稱，同時滿足這兩個條件的函數即為所求．

解答：解：由題意可得函數f（x）是偶函數且圖象關于x=

π

4

對稱．
由于f（x）=cos2x的圖象的對稱軸為2x=kπ，k∈z，即 x=

kπ

2

，k∈z，故不滿足條件．
由于f（x）=cos(2x+

π

2

)=-sin2x，不是偶函數，故不滿足條件．
由于f（x）=xos6x的對稱軸為 6x=kπ，k∈z，即 x=

kπ

6

，k∈z，故不滿足條件．
由于f（x）=sin（4x+

π

2

）=-cos4x，是偶函數，且對稱軸為4x=kπ，k∈z，即 x=

π

4

，k∈z，故滿足條件．
故選D．

點評：本題考查三角函數的奇偶性和對稱性，以及誘導公式的應用，屬于基礎題．