Question

一個直角梯形的上底比下底短，該梯形繞它的上底旋轉一周所得旋轉體的體積為，該梯形繞它的下底旋轉一周所得旋轉體的體積為，該梯形繞它的直角腰旋轉一周所得旋轉體的體積為，則該梯形的周長為__________

Answer 1

試題分析：先設梯形的上底、下底和高，然后利用圓柱和圓錐的體積公式求出以這三邊旋轉得到的幾何體的體積，聯立得到的式子可解出上底、下底和高，結合勾股定理，另一腰也可求出，故梯形的周長可以得到。
解：設梯形的上底長為，下底長為，高為，
則梯形繞上底旋轉所得旋轉體的體積為，
因此，即.
同理有，
兩式相除得，去分母化簡得，
代入得.
注意到直角腰長等于高，梯形繞它的直角腰旋轉一周所得旋轉體為圓臺，其體積為. 將代入化簡得. 結合可解得，因此，由勾股定理知另一條腰的長度為，因此梯形的周長為.
點評：找出組合圖形的各部分數據，求體積和．