Question

①如果平面α內的一條直線m與平面α的一條斜線l在平面α內的射影n垂直，那么m⊥l；
②如果平面α內的一條直線b與平面β垂直，那么α⊥β；
③經過平面α外一點有且只有一條直線與平面α平行；
④對角線相交于一點且被這點平分的四棱柱是平行六面體．
其中逆否命題為真命題的命題個數有（　�。�

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：考察四命題，①可由線面垂直的性質判斷，②可由面面垂直的判定定理作出判斷，③可由線面平行的定義作出判斷，④可由平行六面體的結構特征作出判斷；

解答：解：①如果平面α內的一條直線m與平面α的一條斜線l在平面α內的射影n垂直，那么m⊥l；此命題正確，因為平面內一條直線與其斜線在平面內的射影垂直必與此斜線垂直；
②如果平面α內的一條直線b與平面β垂直，那么α⊥β；此命題正確，由面面垂直的判定定理知，一個平面若過另一上平面的垂線，由此兩平面互相垂直；
③經過平面α外一點有且只有一條直線與平面α平行；此命題不正確，因為過平面外一點可做一個平面平已知平面平行，此平面內過該點的直線都與已知平面平行；
④對角線相交于一點且被這點平分的四棱柱是平行六面體；此命題正確，因為平行六面估的體對角線恰好是其兩相對棱為對邊的平行四邊形的對角線，而對角線互相平分的四邊形一定是平行四邊線，故此棱柱一定是平行六面體；、
綜上，①②④正確
故選B

點評：本題考點是平面與平面的位置關系，考查了線面垂直的性質，面面垂直的判定，線面平行的定義，平行六面體的結構特征，解題的關鍵是有著較強的空間立體感知能力，及對每個命題涉及的知識熟練掌握，本題考查了空間想像能力及推理判斷的能力，此類題知識覆蓋面廣，是高考中常見的題型