Question

已知直線l₁∥l₂，A是l₁，l₂之間的一定點，并且A點到l₁，l₂的距離分別為3和4，B是直線l₂上一動點，作AC⊥AB，且使AC與直線l₁交于點C，則△ABC面積的最小值為（　　）

A．24

B．12

C．8

D．6

Answer 1

分析：過A作l₁、l₂的垂線，分別交l₁、l₂于E、F．由直角三角形中三角函數的定義，算出AC=

3

cosθ

且AB=

4

sinθ

，從而得到△ABC面積S=

1

2

AB•AC=

12

sin2θ

，利用正弦函數的有界性，可得θ=

π

4

時△ABC面積有最小值12．

解答：解：過A作l₁、l₂的垂線，分別交l₁、l₂于E、F
則AE=3，AF=4
設∠FAC=θ，則Rt△ACF中，AC=

AF

cosθ

=

3

cosθ

Rt△ABE中，∠ABE=θ
可得AB=

AE

sinθ

=

4

sinθ

∴△ABC面積為S=

1

2

AB•AC=

6

sinθcosθ

=

12

sin2θ

∵θ∈（0，

π

2

）
∴當且僅當θ=

π

4

時，sin2θ=1達到最大值1，
此時△ABC面積有最小值12
故選：B

點評：此題考查了直角三角形中銳角三角函數定義，正弦函數的定義域及值域及二倍角的正弦函數公式，利用了數形結合的思想，屬于中檔題．