Question

（文）已知函數f（x）=2sinx+3tanx．項數為27的等差數列{a_n}滿足an∈(-

π

2

，

π

2

)，且公差d≠0．若f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₇）=0，則當k值為

13

時有f（a_k）=0．

Answer 1

分析：利用和差化積和等差數列的性質可得sina₁₃=0，進而可得f（a₁₃）=0．

解答：解：∵f（a₁）+f（a₂₇）=2sina₁+3tana₁+2sina₂₇+3tana₂₇
=2（sina₁+sina₂₇）+3(

sina1

cosa1

+

sina27

cosa27

)
=4sin

a1+a27

2

cos

a27-a1

2

+3•

sin(a1+a27)

cosa1cosa27

=4sina13cos13d+

6sina13cosa13

cosa1cosa27

=sina13(4cos13d+

6cosa13

cosa1cosa27

)，
同理f（a₂）+f（a₂₆）=sina13(4cos12d+

6cosa13

cosa2cosa26

)，
…，
f（a₁₃）=2sina₁₃+3tana₁₃=sina13(2+

3

cosa13

)，
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₇）=0，∴sina₁₃=0．
∴f（a₁₃）=0，
∴當k值為 13時有f（a₁₃）=0．
故答案為0

點評：本題考查了和差化積和等差數列的性質，屬于難題．