Question

(本小題滿分12分) 已知各項均為正數的數列滿足: （），且.

（Ⅰ）求數列的通項公式;

（Ⅱ）證明:（）

（Ⅲ）若，令，設數列的前項和為（），試比較與的大小.

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 略

(2)

【解析】．解:（Ⅰ）∵，

（法一,即

又,所以有,所以，法二 令

則有，可得）

∴   所以數列是公比為2的等比數列  （2分）

由 得,解得

故數列的通項公式為   （4分）

（Ⅱ）①當時，,上面不等式顯然成立；（5分）

②假設當時，不等式成立

當時，

綜上①②對任意的均有    （8分）

（Ⅲ）因，所以

即數列是首項為4,公比是4的等比數列   （9分）

所以，   （10分）

又 ∴－＝－

＝

所以對任意的均有   （12分）