Question

(2009山東卷文)（本小題滿分14分）

設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E.

（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;   

（2）已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標原點),并求出該圓的方程;

(3)已知,設直線與圓C:(1<R<2)相切于A₁,且與軌跡E只有一個公共點B₁,當R為何值時,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

Answer 1

解:（1）因為,,,

所以,    即.   

當m=0時,方程表示兩直線,方程為;

當時, 方程表示的是圓

當且時,方程表示的是橢圓;

當時,方程表示的是雙曲線.

(2).當時, 軌跡E的方程為,設圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,

要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,

則使△=,

即,即,     且

,

要使,   需使,即,

所以,  即且,  即恒成立.

所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,

所以圓的半徑為,, 所求的圓為.

當切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足.

綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.

(3)當時,軌跡E的方程為,設直線的方程為,因為直線與圓C:(1<R<2)相切于A₁, 由（2）知,  即    ①,

因為與軌跡E只有一個公共點B₁,

由（2）知得,

即有唯一解

則△=,    即,     ②

由①②得,   此時A,B重合為B₁(x₁,y₁)點,   

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)點在橢圓上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因為當且僅當時取等號,所以,即

當時|A₁B₁|取得最大值,最大值為1.

【命題立意】:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關系,以及直線與橢圓的位置關系,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題,有幾個交點的問題.