Question

如圖所示，已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點恰好是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點F，且兩條曲線的交點連線也過焦點F，則該橢圓的離心率為

2

-1

．

Answer 1

分析：設橢圓的左焦點為F'，拋物線與橢圓在第一象限的交點為A，連接AF'，可得Rt△AFF'中，AF=FF'=p，從而AF'=

2

p，再根據橢圓的定義，可得AF+AF'=2a=（1+

2

）p，最后用橢圓的離心率的公式求出該橢圓的離心率．

解答：解：設橢圓的左焦點為F'，拋物線與橢圓在第一象限的交點為A，連接AF'，
∴F（

p

2

，0），F'（-

p

2

，0），可得焦距FF'=p=2c，（c=

a2-b2

為橢圓的半焦距）
對拋物線方程y²=2px令x=

p

2

，得y²=p²，所以AF=|y_A|=p
∴Rt△AFF'中，AF=FF'=p，可得AF'=

2

p
再根據橢圓的定義，可得AF+AF'=2a=（1+

2

）p，
∴該橢圓的離心率為e=

c

a

=

2c

2a

=

p

(1+ 2 )p

=

2

-1
故答案為：

2

-1

點評：本題給出橢圓的右焦點恰好是拋物線的焦點，并且兩曲線的通徑合在一起，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的定義與簡單幾何性質和拋物線的標準方程等知識點，屬于中檔題．