Question

已知直線l：kx+y-k+2=0和兩點A（3，0），B（0，1），下列命題正確的是

 

（填上所有正確命題的序號）．
①直線l對任意實數k恒過點P（1，-2）；
②方程kx+y-k+2=0可以表示所有過點P（1，-2）的直線；
③當k=±1及k=2時直線l在坐標軸上的截距相等；
④若

x0

3

+y0=1，則直線（x₀-1）（y+2）=（y₀+2）（x-1）與直線AB及直線l都有公共點；
⑤使得直線l與線段AB有公共點的k的范圍是[-3，1]；
⑥使得直線l與線段AB有公共點的k的范圍是（-∞，-3]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析：根據題意，依次分析命題：利用直線系方程可得①正確，通過舉反例可得②不正確．通過給變量取特殊值可得③不正確，由直線（x₀-1）（y+2）=（y₀+2）（x-1）過點M，P（兩點式），即與直線AB有公共點M，與直線l有公共點P，可得 ④正確．直線l與線段AB有公共點時，數形結合易見，直線l應在直線PA到PB之間，而其間有斜率不存在的位置，求得k的范圍，可得命題⑤、命題⑥都不正確；綜合可得答案．

解答：解：①直線l方程為：y+2=-k（x-1），恒過點P（1，-2），故①正確．
②由于方程kx+y-k+2=0不能表示直線 x=1，故 ②不正確．
③當k=-1時直線l方程為 x-y-3=0，在坐標軸上的截距分別為3和-3，
直線l在坐標軸上的截距相反，故③不正確．
④若

x0

3

+y0=1，則點M（x₀，y₀）在直線AB上（截距式），又點P（1，-2）在直線l上，
而直線（x₀-1）（y+2）=（y₀+2）（x-1）過點M，P（兩點式），即與直線AB有公共點M，
與直線l有公共點P，故④正確．
⑤⑥直線l與線段AB有公共點時，直線l的斜率-k≥k_PA=1，或者-k≤k_PB=-3，
解得 k≤-1，或 k≥3，故命題⑤、⑥都不正確．
綜上，答案為 ①④．

點評：本題考查過定點的直線系方程的特征，直線在坐標軸上的截距的定義，兩直線的交點坐標的求法，屬于中檔題．