Question

（本小題共12分）

設x=3是函數f (x) = (x2+ax+b)·e3-x (x∈R)的一個極值點。

⑴求a與b的關系式，(用a表示b)，并求f(x)的單調區間。

⑵設a>0， ，若存在ε1，ε2∈[0，4]，使｜f (ε1)-g (ε2)｜<1成立，求a的取值范圍

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 當a<－4時，x2>3＝x1，則在區間（－∞，3）上，，f(x)為減函數；

在區間（3，－a－1）上f (x)為增函數。

在區間（－a－1，+∞）上f (x)為減函數。         

當a>－4時，x2<3＝x1，則在區間（－∞，－a－1）上f(x)為減函數；

在區間（－a－1，3）上，為增函數；

在區間（3，+∞）上， f(x)為減函數。

(2)

【解析】解：⑴                        （2分）

＝

令

由于x＝3是極值點，所以3+a+1≠0，那么a≠－4。

當a<－4時，x2>3＝x1，則在區間（－∞，3）上，，f(x)為減函數；

在區間（3，－a－1）上f (x)為增函數。

在區間（－a－1，+∞）上f (x)為減函數。               （4分）

當a>－4時，x2<3＝x1，則在區間（－∞，－a－1）上f(x)為減函數；

在區間（－a－1，3）上，為增函數；

在區間（3，+∞）上， f(x)為減函數。                 （6分）

⑵由①知，當a>0時，f(x)在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，

那么f(x)在區間[0，4]上的值域是[min (f (0)，f (4))，f (3)]，

而f (0)＝－（2a+3）e3<0，f (4)＝（2a+13）e-1>0，f（3）＝a+6，  

那么f(x)在區間[0，4]上的值域是[－（2a+3）e3，a+6]，            （8分）

又g (x)＝在區間[0，4]上是增函數，

且它在區間[0，4]上的值域是             （10分）

由于

所以只需        

故a的取值范圍是。                                 （12分