Question

【題目】已知函數.

（1）求證：當時，；

（2）若對任意存在和使成立，求實數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）不等式等價于，設，利用導數可證恒成立，從而原不等式成立.

（2）由題設條件可得在上有兩個不同零點，且，利用導數討論的單調性后可得其最小值，結合前述的集合的包含關系可得的取值范圍.

（1）設，則，

當時，由，所以在上是減函數，

所以，故.

因為，所以，所以當時，.

（2）由（1）當時，；

任意，存在和使成立，

所以在上有兩個不同零點，且，

（1）當時，在上為減函數，不合題意；

（2）當時，，

由題意知在上不單調，

所以，即，

當時，，時，，

所以在上遞減，在上遞增，

所以，解得，

因為，所以成立，

下面證明存在，使得，

取，先證明，即證，

令，則在時恒成立，

所以成立，

因為，

所以時命題成立.

因為，所以.

故實數的最小值為.