Question

已知直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1；
（1）當a為何值時，直線與雙曲線有一個交點；
（2）直線與雙曲線交于P、Q兩點且以PQ為直徑的圓過坐標原點，求a值．

Answer 1

分析：（1）把直線與雙曲線方程聯立消去y，利用二次項非0，且判別式等于0或二次項為0可求得a．
（2）把直線l的方程與雙曲線的方程聯立消去y，根據判別式大于0求得a的范圍，根據OP⊥OQ，推斷出y₁y₂=-x₁x₂．根據韋達定理表示出x₁x₂．進而根據直線方程表示出y₁y₂，代入y₁y₂=-x₁x₂．求得a．

解答：解：（1）聯立方程組

3x2-y2=1 y=ax+1

，得(3-a2)x2-2ax-2=0．
∵直線l與曲線C有兩個交點P、Q，
∴

3-a2≠ 0 △=4a2-4(3-a2)×(-2)=0

或a²-3=0
∴

a2-3≠0 a2-6=0

或a=±

3

∴a=±

3

或a=±

6

（2）設點P、Q的坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
由（1）可知，

x1+x2= 2a 3-a2 x1x2= -2 3-a2

．
∵以線段PQ為直徑的圓經過原點，
∴

OP

⊥

OQ

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
即(a2+1)•

-2

3-a2

+a•

2a

3-a2

+1=0，解得a=±1
∴a=±1時，以線段AB為直徑的圓經過坐標原點．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，直線與雙曲線的位置關系．考查了學生綜合分析問題和推理的能力，基本的運算能力．