Question

【題目】已知是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離比它到x軸的距離大1.直線與直線的交點(diǎn)為.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）已知是曲線上不同的兩點(diǎn)，線段的垂直垂直平分線交曲線于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，則是否存在點(diǎn)，使得四點(diǎn)內(nèi)接于以點(diǎn)為圓心的圓上；若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)以及圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)存在,,.

【解析】

(1)由點(diǎn)到的距離比它到軸的距離大1可知, 點(diǎn)的軌跡為拋物線,即可求出軌跡方程.

(2) 設(shè),點(diǎn)差法結(jié)合中點(diǎn),可求出,從而可求直線的方程是,直線的方程是,分別與聯(lián)立,求出交點(diǎn)的坐標(biāo),求出到四點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)即為圓心,該距離即為半徑,即可求出圓的方程.

解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)到的距離比它到軸的距離大1,

則點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.故點(diǎn)的軌跡為拋物線

焦點(diǎn)為,則.即曲線的軌跡方程為.

（2）聯(lián)立,解得,故.

設(shè),則,根據(jù)點(diǎn)差法,兩式相減整理得

.所以直線的方程是

直線的斜率為 ,則直線的方程是

聯(lián)立,解得

從而有.聯(lián)立,得,則

設(shè)的中點(diǎn)為,則,從而有

故四點(diǎn)共圓且為圓心,故圓的方程是.