Question

在棱長(zhǎng)為

2

的正四面體的外接球中，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓．若兩圓的圓心距為

2

2

，則兩圓的公共弦長(zhǎng)是（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  3

  4

• C．1
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：正四面體擴(kuò)展為正方體，它們的外接球是同一個(gè)球，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，求出半徑，再?gòu)娜齻�(gè)圓心上找關(guān)系，構(gòu)建矩形利用對(duì)角線相等即可求解出答案．

解答：解：正四面體擴(kuò)展為正方體，它們的外接球是同一個(gè)球，
正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)為：1；對(duì)角線長(zhǎng)為：

3

，
所以球的半徑為：R=

3

2

，
設(shè)相互垂直兩圓的圓心分別為O₁、O₂，球心為O，公共弦為AB，其中點(diǎn)為E，
則OO₁EO₂為矩形，于是對(duì)角線O₁O₂=OE，
而 OE=

OA2-AE2

=

( 3 2 )2-AE2

=

2

2

，
∴AE=

1

2

，則AB=1；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：考查兩平面垂直的性質(zhì)，正四面體的外接球，球的體積的求法，本題的突破口在正四面體轉(zhuǎn)化為正方體，外接球是同一個(gè)球，考查計(jì)算能力，空間想象能力．