Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點和短軸的兩個端點構成邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓 C的方程；
（Ⅱ）過點Q（1，0）的直線 l與橢圓C 相交于A，B兩點．點P（4，3），記直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，當k₁•k₂ 最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）根據題意，結合正方形的性質可得b=c且

b2+c2

=2，由此算出a=2，即可得到橢圓C的方程；
（II）當直線l的斜率等于0時，結合橢圓的方程算出k₁•k₂=

3

4

；直線l的斜率不等于0時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程為x=my+1，由直線l方程與橢圓方程消去x得到關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系得到y₁+y₂=

-2m

m2+2

，y₁y₂=

-3

m2+2

．由此利用直線的斜率公式和直線l方程化簡k₁•k₂的式子，再根據基本不等式加以計算，可得k₁•k₂=

3

4

+

4m+1

8m2+12

≤1，當且僅當m=1時，等號成立．因此當m=1時k₁•k₂的最大值為1，可得此時的直線l的方程．

解答：解：（I）∵橢圓C方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴由左、右焦點和短軸的兩個端點構成邊長為2的正方形，
可得b=c且

b2+c2

=2，解得b=c=

2

，a=

b2+c2

=2．
∴橢圓 C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（II）①直線l的斜率等于0時，A、B分別為左右頂點，
∴k₁•k₂=

3

4+2

•

3

4-2

=

3

4

；
②直線l的斜率不等于0時，設直線l的方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x=my+1 x2 4 + y2 2 =1

消去x，整理得（m²+2）y²+2my-3=0．
∴y₁+y₂=

-2m

m2+2

，y₁y₂=

-3

m2+2

．
∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
∴k₁•k₂=

3-y1

4-x1

•

3-y2

4-x2

=

(3-y1)(3-y2)

(3-my 1)(3-my2)

=

9-3(y1+y2)+y1y2

9-3m(y1+y2)+m2y 1y2

=

9-3• -2m m2+2 + -3 m2+2

9-3m• -2m m2+2 +m2• -3 m2+2

=

3m2+2m+5

4m2+6

=

3

4

+

4m+1

8m2+12

．
令t=4m+1，則

4m+1

8m2+12

=

2t

t2-2t+25

=

2

(t+ 25 t )-2

≤

2

2 t• 25 t -2

=

1

4

，
∴k₁•k₂=

3

4

+

4m+1

8m2+12

≤

3

4

+

1

4

=1，當且僅當t=5即m=1時，等號成立．
綜合①②，可得k₁•k₂的最大值為1，此時的直線l方程為x=y+1，即x-y-1=0．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程并研究直線斜率之積的最大值問題．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、直線的基本量與基本形式、用基本不等式求最值和直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．