Question

14、已知如果函數f（x）滿足：對任意的實數a，b，都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，則f（0）+f（3）=

9

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Answer 1

分析：本題考查抽象函數的性質及其應用，可以利用兩種方法來完成．方法一：根據f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，給a，b取值，利用賦值法求解；方法二：抽象出具體函數求解．f（a+b）=f（a）•f（b）?f（x）=a^x（a＞0且a≠1）

解答：解：方法一：對任意的實數a，b，都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，則，令a=1，b=0，可得f（1）=f（1）•f（0）?f（0）=1，令a=b=1，可得f（2）=f（1）•f（1）=4，令a=1，b=2，可得f（3）=f（1）•f（2）=8，所以f（0）+f（3）=9；
方法二、（抽象出具體函數）對任意的實數a，b，都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，則符合條件的一個函數是y=2^x．
則f（0）+f（3）=2⁰+2³=9．

點評：會利用賦值法解決有關抽象函數問題，或者利用抽象函數所給的性質，抽象出一個具體函數求解．