Question

如圖所示，已知圓E：x²+（y-1）²=4交x軸分別于A，B兩點，交y軸的負半軸于點M，過點M作圓E的弦MN．
（1）若弦MN所在直線的斜率為2，求弦MN的長；
（2）若弦MN的中點恰好落在x軸上，求弦MN所在直線的方程；
（3）設弦MN上一點P（不含端點）滿足PA，PO，PB成等比數列（其中O為坐標原點），試探求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據K_MN=2，且過點M（0，-1），，代入即可得：弦MN所在直線的方程為y+1=2x
（2）弦MN的中點恰好落在x軸上時有y_M+y_N=0，可得y_N=1，代入圓E的方程中得N（±2，1），進而可求直線MN的方程為x-y-1=0或x+y+1=0．
（3）設P（x，y），由PA•PB=PO²，得

(x+ 3 )2+y2

•

(x- 3 )2+y2

=x2+y2，化簡得x2=y2+

3

2

．
又由于點P在圓E內，所以x²+（y-1）²＜4，
聯立可得答案．

解答：解：（1）在圓E的方程中令x=0，得M（0，-1），又K_MN=2，
所以弦MN所在直線的方程為y+1=2x，即2x-y-1=0．
∵圓心到直線MN的距離為d=

2

5

，且r=2，∴MN=2

r2-d2

=

8 5

5

．
（2）因為y_M+y_N=0，所以y_N=1，代入圓E的方程中得N（±2，1）．
由M（0，-1），N（±2，1）得直線MN的方程為x-y-1=0或x+y+1=0．
（3）易得A(-

3

，0)，B(

3

，0)，設P（x，y），
則由PA•PB=PO²，得

(x+ 3 )2+y2

•

(x- 3 )2+y2

=x2+y2，
化簡得x2=y2+

3

2

①
由題意知點P在圓E內，所以x²+（y-1）²＜4，結合①，
得4y²-4y-3＜0，解得-

1

2

＜y＜

3

2

．從而

PA

•

PB

=x2+y2-3=2y2-

3

2

∈[-

3

2

，3)．

點評：本題主要考查向量的數量積運算和圓的方程的有關問題．屬小綜合題．