Question

（2011•鹽城模擬）如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點為A，左焦點為F，上頂點為B，若∠BAO+∠BFO=90°，則該橢圓的離心率是

5 -1

2

．

Answer 1

分析：先作出橢圓的右焦點F′，根據條件得出AB⊥BF′．再求出A、B、F′的坐標，由 兩個向量的數量積的性質得出a，b、c的關系建立關于離心率e的方程，解方程求得橢圓C的離心率e．

解答：解：設橢圓的右焦點為F′，
由題意得 A（-a，0）、B（0，b），F′（c，0），
∵∠BAO+∠BFO=90°，且∠BFO=∠BF′O，
∴∠BAO+∠BF′O=90°，
∴

AB

•

BF′

=0，
∴（a，b）•（c，-b）=ac-b²=ac-a²+c²=0，
∴e-1+e²=0，
解得  e=

5 -1

2

，
故答案為：

5 -1

2

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質的應用，兩個向量的數量積公式的應用，以及一元二次方程的解法．