Question

自選題：已知曲線C₁：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數），曲線C₂：

x= 2 2 t- 2 y= 2 2 t

（t為參數）．
（Ⅰ）指出C₁，C₂各是什么曲線，并說明C₁與C₂公共點的個數；
（Ⅱ）若把C₁，C₂上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C₁′，C₂′．寫出C₁′，C₂′的參數方程．C₁′與C₂′公共點的個數和C與C₂公共點的個數是否相同？說明你的理由．

Answer 1

分析：（I）先利用公式sin²θ+cos²θ=1將參數θ消去，得到圓的直角坐標方程，利用消元法消去參數t得到直線的普通方程，再根據圓心到直線的距離與半徑進行比較，從而得到C₁與C₂公共點的個數；
（II）求出壓縮后的參數方程，再將參數方程化為普通方程，聯立直線方程與圓的方程，利用判別式進行判定即可．

解答：解：（Ⅰ）C₁是圓，C₂是直線．C₁的普通方程為x²+y²=1，
圓心C₁（0，0），半徑r=1．C₂的普通方程為x-y+

2

=0．
因為圓心C₁到直線x-y+

2

=0的距離為1，
所以C₂與C₁只有一個公共點．
（Ⅱ）壓縮后的參數方程分別為C₁′：

x=cosθ y= 1 2 sinθ

（θ為參數）；
C₂′：

x= 2 2 t- 2 y= 2 4 t

（t為參數）．
化為普通方程為：C₁′：x²+4y²=1，C₂′：y=

1

2

x+

2

2

，
聯立消元得2x2+2

2

x+1=0，
其判別式△=(2

2

)2-4×2×1=0，
所以壓縮后的直線C₂′與橢圓C₁′仍然只有一個公共點，和C₁與C₂公共點個數相同．

點評：本題主要考查了圓與直線的參數方程，以及直線圓的位置關系的判定，同時考查了利用判別式進行判定兩曲線的公共點，轉化與化歸的思想方法，屬于基礎題．