Question

（12分）設｛an｝是由正數組成的等差數列，Sn是其前n項和
（1）若Sn＝20，S2n＝40，求S3n的值；
（2）若互不相等正整數p，q，m，使得p＋q＝2m，證明：不等式SpSq＜S成立；
（3）是否存在常數k和等差數列｛an｝，使ka－1＝S2n－Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，試求出常數k和數列｛an｝的通項公式；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）S3n＝3 S2n－3 Sn＝60…
（2）略
（3）存在常數k＝及等差數列an＝n－使其滿足題意

（1）在等差數列｛an｝中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差數列，
∴Sn＋（S3n－S2n）＝2（S2n－Sn）
∴S3n＝3 S2n－3 Sn＝60…………………………………………………………………4分
（2）SpSq＝pq（a1＋ap）（a1＋aq）
＝pq［a＋a1(ap＋aq)＋apaq］
＝pq（a＋2a1am＋apaq）＜（）2［a＋2a1am＋（）2］
＝m2（a＋2a1am＋a）＝［m（a1+am）］2
＝S………………………………………………………………………8分
（3）設an＝pn＋q（p，q為常數），則ka－1＝kp2n2＋2kpqn＋kq2－1
Sn+1＝p(n＋1)2＋（n＋1）
S2n＝2pn2＋（p＋2q）n
∴S2n－Sn+1＝pn2＋n－（p＋q），
依題意有kp2n2＋2kpqn＋kq2－1＝ pn2＋n－（p＋q）對一切正整數n成立，
∴
由①得，p＝0或kp＝；
若p＝0代入②有q＝0，而p＝q＝0不滿足③，
∴p≠0
由kp＝代入②，
∴3q＝，q＝－代入③得，
－1＝－（p－），將kp＝代入得，∴P＝，
解得q＝－，k＝
故存在常數k＝及等差數列an＝n－使其滿足題意…………………12分