Question

如圖（1）是一個水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中點．正三棱柱的正（主）視圖如圖（2）．

（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）證明：A₁B∥平面ADC₁；
（3）圖（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面有哪幾個？（直接寫出符合要求的平面即可，不必說明或證明．

Answer 1

分析：（1）直接求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC的面積，求出高AA₁，即可求出體積；
（2）連接A₁C，證明A₁B平行平面ADC₁內的直線DE，即可證明A₁B∥平面ADC₁．
（3）通過直線與平面垂直，說明平面與平面垂直，直接列舉出圖（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面即可．

解答：證明：（1）依題意，在正三棱柱中，AD=

3

，
AA₁=3，從而AB=2，AA₁⊥平面ABC，
所以正三棱柱的體積V=Sh=

1

2

×AB×AD×AA1=

1

2

×2×

3

×3=3

3

．
（2）連接A₁C，設A₁C∩AC₁=E，
連接DE，因為AA₁C₁C是正三棱柱的側面，
所以AA₁C₁C是矩形，E是A₁C的中點，
所以DE是△A₁BC的中位線，DE∥A₁B，
因為DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．
（3）AD垂直平面BCC₁B₁，AD?平面ABC、平面ABC∥平面A₁B₁C₁、AD?平面AC₁D
所以垂直于平面BCC₁B₁的平面有：平面ABC、平面A₁B₁C₁、平面AC₁D．

點評：本題考查棱柱的結構特征，平面與平面垂直的判斷，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．