Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，，其中．

（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（2）用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明：當時，在區(qū)間上為減函數(shù)；

（3）當，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象上方，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

（2）設(shè)任意，且，則利用作差法，結(jié)合變形，定號，下結(jié)論得到證明，注意變形化到最簡即可。

（3）

【解析】

試題分析：解：（1）函數(shù)是偶函數(shù)，，

 

即函數(shù)的圖象是頂點為，對稱軸為且開口向下的拋物線，

在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減

又

 函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．

（2）設(shè)任意，且，則

 

又

當時，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).

（3）對于，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象上方，等價不等式

＞在上恒成立，

即在上恒成立，

，解得 

所求實數(shù)的取值范圍為 

考點：函數(shù)單調(diào)性和不等式

點評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來求解證明，屬于基礎(chǔ)題。。