Question

如圖所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中點．
（I）求證：ED⊥AC；
（Ⅱ）若直線BE與平面ABCD成45°角，求異面直線GE與AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由矩形ADEF可知ED⊥AD，又因為平面ADEF⊥平面ABCD，得到ED⊥平面ABCD，從而有ED⊥AC．
（Ⅱ）由（I）ED⊥平面ABCD，可知∠EDB是直線BE與平面ABCD所成的角，又由AM∥GE，知∠MAC是異面直線GE與AC所成角或其補角
然后在△MAC中用余弦定理求解．

解答：（I）證明：在矩形ADEF中，ED⊥AD
∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD
∴ED⊥平面ABCD∴ED⊥AC（6分）

（Ⅱ）由（I）知：ED⊥平面ABCD
∴∠EBD是直線BE與平面ABCD所成的角，即∠EBD=45°（8分）
設AB=a，則DE=BD=

2

a
取DE中點M，連接AM
∵G是AF的中點∴AM∥GE
∴∠MAC是異面直線GE與AC所成角或其補角（10分）
連接BD交AC于點O
∵AM=CM=

a2+( 2 2 a)2

=

6

2

a，O是AC的中點
∴MO⊥AC
∴cos∠MAC=

AO

AM

=

2 2 a

6 2 a

=

3

3

，
∴異面直線GE與AC所成角的余弦值為

3

3

．（12分）

點評：本題主要考查線線垂直，線面垂直，面面垂直間的轉化以及異面直線所成的角的求法．