Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求：點A到平面BD₁的距離；
（2）求點A₁到平面AB₁D₁的距離；
（3）求平面AB₁D₁與平面BC₁D的距離；
（4）求直線AB到CDA₁B₁的距離．

Answer 1

分析：（1）根據點A在平面BD₁內，即可求出點A到平面BD₁的距離；
（2）根據點A₁到平面AB₁D₁的距離是正方體的體對角線的

1

3

，而正方體的體對角線為

3

，即可求出點A₁到平面AB₁D₁的距離；
（3）根據平面AB₁D₁∥平面BC₁D，可知這兩個平面將體對角線分成三等分，從而求出平面AB₁D₁與平面BC₁D的距離；
（4）先求出A到CDA₁B₁的距離，而AB∥平面CDA₁B₁，則直線AB到CDA₁B₁的距離等于點A到CDA₁B₁的距離．

解答：解：（1）因為點A在平面BD₁內
∴點A到平面BD₁的距離為0
（2）正方體的體對角線為

3

而點A₁到平面AB₁D₁的距離是正方體的體對角線的

1

3

∴點A₁到平面AB₁D₁的距離為

3

3

；
（3）平面AB₁D₁∥平面BC₁D
這兩個平面將體對角線分成三等分
∴平面AB₁D₁與平面BC₁D的距離為

3

3

；
（4）∵AO⊥A₁D
∴A到CDA₁B₁的距離為AO=

2

2

而AB∥平面CDA₁B₁
∴直線AB到CDA₁B₁的距離

2

2

點評：本題主要考查了點到平面的距離，以及直線到平面的距離，同時考查了空間想象能力，計算推理能力，屬于基礎題．