Question

已知f₁（x）=3^|x-1|，f₂（x）=a•3^|x-2|，（x∈R，a＞0）．函數f（x）定義為：對每個給定的實數x，f(x)=

f1(x)    f1(x)≤f2(x)  f2(x)    f1(x)＞f2(x)

（1）若f（x）=f₁（x）對所有實數x都成立，求a的取值范圍；
（2）設t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．設函數f（x）在區間[0，t]上的單調遞增區間的長度之和為d（閉區間[m，n]的長度定義為n-m），求

d

t

；
（3）設g（x）=x²-2bx+3．當a=2時，若對任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據定義，問題等價于“f₁（x）≤f₂（x）恒成立”，從而進一步轉化為具體不等式恒成立問題，利用最值法可求a的取值范圍；
（2）利用定義，分兩類f（x）=f₁（x），與f（x）=f₂（x），分別求出單調遞增區間的長度和與相應的t的值，從而可解；
（3）對任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），等價于f（x）_min≥g（x）_min，分別求出相應的最小值即可解得．

解答：解：（1）“f（x）=f₁（x）對所有實數都成立”等價于“f₁（x）≤f₂（x）恒成立”，即3^|x-1|≤a•3^|x-2|，即|x-1|-|x-2|≤log₃a恒成立，…（2分）（|x-1|-|x-2|）_max=1，所以log₃a≥1，a的取值范圍是[3，+∞）．      …（4分）
（2）由（1）可知，當a∈[3，+∞）時，f（x）=f₁（x），f（0）=3，所以t=2，函數的對稱軸為x=1，函數f（x）在[0，1]上單調遞減；在[1，2]上單調遞增，單調遞增區間的長度和為d=1，

d

t

=

1

2

．                                                        …（6分）
當f₂（x）≤f₁（x）恒成立時，即|x-1|-|x-2|≥log₃a恒成立，（|x-1|-|x-2|）_min=-1，所以log₃a≤-1．
當a∈(0，

1

3

]時，f（x）=f₂（x）=a•3^|x-2|，函數的對稱軸為x=2，由f（0）=f（t），可得t=4．函數f（x）在[0，2]上單調遞減；在[2，4]上單調遞增，單調遞增區間的長度和為d=2，

d

t

=

1

2

．                                                      …（8分）
當a∈(

1

3

，3)時，解不等式3^|x-1|≤a•3^|x-2|，即解|x-1|-|x-2|≤log₃a，其中-1＜log₃a＜1，解得x≤

3

2

+

1

2

log3a，
所以 f(x)=

3|x-1       x≤ 3 2 + 1 2 log3a  a•3|x-2    x＞ 3 2 + 1 2 log3a

且1＜

3

2

+

1

2

log3a＜2，f（0）=3，而f（t）=a•3^t-2=3，t=3-log₃a，
函數f（x）在[1，

3

2

+

1

2

log3a]，[2，3-log₃a]上單調遞增，單調遞增區間的長度和為d=(3-log3a-2)+(

3

2

+

1

2

log3a-1)=

3

2

-

1

2

log3a，

d

t

=

1

2

．           …（11分）
（3）當a=2時，f(x)=

3|x-1       x≤ 3 2 + 1 2 log32  2•3|x-2    x＞ 3 2 + 1 2 log32

即要f（x）_min≥g（x）_min，…（14分）f（x）_min=1．g（x）=（x-b）²+2，當x∈[1，2]時，g(x)min=

4-2b，b＜1 3-b2 1≤b≤2 7-4b，b＞2

所以b的取值范圍是[

2

，+∞)．                                        …（18分）

點評：本題主要考查恒成立問題的處理策略，考查學生等價轉化問題的能力，有一定的綜合性．