Question

A 若方程a^x-x-a=0有兩個實數解，則a的取值范圍是

（1，+∞）

B 如圖，矩形ABCD中邊長AB=2，BC=1，E為BC的中點，若F為正方形內（含邊界）任意一點，則

AE

•

AF

的最大值為

9

2

．

Answer 1

分析：A：方程a^x-x-a=0變形為：方程a^x=x+a，由題意得，函數y=a^x與函數y=a+x 有兩個不同的交點，結合圖象得出結果．
B：解：分別以AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標系，則由E（2，

1

2

），C（2，1），設F（x，y）可求

AE

•

AF

=2x+

1

2

y，令z=2x+

1

2

y，則y=-4x+2z，2z為目標函數所對應的直線在y軸上的截距，截距越大，z越大，利用線性規劃的知識可求

解答：解A：方程a^x-x-a=0變形為：方程a^x=x+a，
由題意得，方程a^x-x-a=0有兩個不同的實數解，
即函數y=a^x與函數y=a+x 有兩個不同的交點，
y=a^x的圖象過定點（0，1），直線y=x+a 的圖象過定點（0，a），如圖所示：
故直線y=x+a 在y軸上的截距大于1時，函數y=a^x與函數y=a+x 有兩個不同的交點
故答案為（1，+∞）

解B：分別以AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標系，則E（2，

1

2

），C（2，1），設F（x，y）
∴

AE

=(2，

1

2

)，

AF

=(x，y)
所以

AE

•

AF

=2x+

1

2

y
令z=2x+

1

2

y，則y=-4x+2z，2z為目標函數所對應的直線在y軸上的截距，截距越大，z越大
x，y滿足的區域即矩形ABCD內及邊界
結合線性規劃的知識可得，當點F在C（2，1）處時，z最大，此時：z=2×2+

1

2

=

9

2

故答案為：

9

2

點評：本題A主要考查了指數函數與一次函數的圖象來解決方程根的問題，體現了數形結合思想的應用
B主要考查向量的數量積的應用，線性規劃知識的應用，體現了轉化與化規思想的應用．