Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E、F分別為A₁B₁、A₁D₁的中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求證：DF∥平面ACE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由BC⊥側面ABB₁A₁，可得AE⊥BC；再利用勾股定理證明AE⊥EB；由直線和平面垂直的判定定理 AE⊥平面BCE．（Ⅱ）連BD交AC于O，連OE，利用三角形中位線性質可得EF∥

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B₁D₁，且EF=

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B₁D₁；再由DO∥

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B₁D₁，且DO=

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B₁D₁，可得四邊形DOEF是平行四邊形，可得 DF∥OE．再利用直線和平面平行的判定定理可得DF∥平面ACE．

解答：解：（Ⅰ）證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC⊥側面ABB₁A₁，
∵AE?側面ABB₁A₁，∴AE⊥BC．…（3分）
在△ABE中，AB=2a，AE=BE=

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a，∴AB²=AE²+BE²，∴AE⊥EB．…（6分）
又BC∩BE=B，∴AE⊥平面BCE．      …（7分）
（Ⅱ）證明：連EF、B₁D₁，連BD交AC于O，連OE，
∵E、F分別為A₁B₁、A₁D₁的中點，∴EF∥

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B₁D₁，且EF=

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B₁D₁，
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DO∥

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B₁D₁，且DO=

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B₁D₁，
∴DO∥EF，且 DO=EF，∴四邊形DOEF是平行四邊形，…（10分）
∴DF∥OE．     …（11分）
又∵OE?平面ACE，DF不在平面ACE內，∴DF∥平面ACE．  …（13分）

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理、直線和平面平行的判定定理的應用，屬于中檔題．