Question

做一個物理試驗，甲、乙兩人一次試驗成功的概率分別為0.6、0.8，且每次試驗成功與否相互之間沒有影響，求：
（I）甲做試驗三次，第三次才能成功的概率；
（II） 甲、乙兩人在第一次試驗中至少有一人成功的概率；
（III） 甲、乙各做試驗兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次的概率．

Answer 1

分析：（I）甲做試驗三次，第三次才能成功表示前兩次都不成功，第三次才能成功，且三次試驗之間是相互獨立的，根據相互獨立事件的概率公式得到結果．
（II）甲和乙兩個人在第一次試驗中至少有一次成功包括三種情況，這三種情況是互斥的，根據相互獨立事件和互斥事件 的概率公式得到結果，也可以用對立事件的概率來做出結果．
（III）“甲在兩次試驗中成功i次”為事件M_i（i=0，1，2），“乙在兩次試驗中成功i次”為事件N_i（i=0，1，2），事件“甲、乙各試驗兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次”可表示為M₁N₀+M₂N₁，且M₁N₀、M₂N₁為互斥事件．根據概率公式得到結果．

解答：解：記“甲第i次試驗成功”為事件A₁，“乙第i次試驗成功”為事件B₁．
依題意得P（A₁）=0.6，P（B₁）=0.8，且A₁B₁（i=1，2，3）相互獨立．
（I）“甲第三次試驗才成功”為事件

.

A1

.

A2

A₃，且三次試跳相互獨立，
∴P（

.

A1

.

A2

A₃）=P（

.

A1

）P(

.

A2

)P(A3)=0.4×0.4×0.6=0.096．
答：甲第三次試驗才成功的概率為0.096．…3分
（II）甲、乙兩人在第一次試驗中至少有一人成功為事件C，
解法一：C=A₁

.

B1

+

.

A1

B1+A1B1，且A1

.

B1

、

.

A1

B1、A1B1彼此互斥，
∴P（C）=P(A1•

.

B1

)+P(

.

A1

•B1)+P(A1•B1)
=P(A1)P(

.

B1

)+P(

.

A

1)P(B1)+P(A1)P(B1)
=0.6×0.2+0.4×0.8+0.6×0.8
=0.92．
解法二：P（C）=1-P(

.

A1

)?P(

.

B 1

)=1-0.4×0.2=0.92．
答：甲、乙兩人在第一次試驗中至少有一人成功的概率為0.92．…7分
（III）設“甲在兩次試驗中成功i次”為事件M_i（i=0，1，2），
“乙在兩次試驗中成功i次”為事件N_i（i=0，1，2），
∵事件“甲、乙各試驗兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次”可表示為M₁N₀+M₂N₁，且M₁N₀、M₂N₁為互斥事件．
∴所求的概率為

P(M1N0+M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1)

=P（M₁）P（N₀）+P（M₂）P（N₁）
=2×0.6×0.4×0.2²+0.6²×2×0.8×0.2
=0.0192+0.1152
=0.1344．
答：甲、乙每人試驗兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次的概率為0.1344．…12分．

點評：本題考查相互獨立事件和互斥事件即對立事件的概率，本題解題的關鍵是看出事件之間的關系，數字的運算不要出錯，本題是一個中檔題目．