Question

已知函數定義在區間上，，且當時，恒有．又數列滿足．
（Ⅰ）證明：在上是奇函數；
（Ⅱ）求的表達式；
（III）設為數列的前項和，若對恒成立，求的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（III）m的最小值為7

本試題主要是考查了函數與數列的知識點的交匯處的運用。
（1）運用賦值法，令x=y=0時，則由已知有，
可解得f (0)=0．
再令x=0，y∈(-1，1)，則有，即，
∴  f (x)是(-1，1)上的奇函數
（2）令x=a_n，y= -a_n，于是，
由已知得2f (a_n)="f" (a_n+1)，
∴ ，
從而得到 數列{f(a_n)}是以f(a₁)=為首項，2為公比的等比數列．
∴ 
（3）由(II)得f(a_n+1)=-2ⁿ，于.
然后求解和式，得到結論。
解：（Ⅰ）證明：令x=y=0時，則由已知有，
可解得f (0)=0．
再令x=0，y∈(-1，1)，則有，即，
∴  f (x)是(-1，1)上的奇函數．                                           4分
（Ⅱ）令x=a_n，y= -a_n，于是，
由已知得2f (a_n)="f" (a_n+1)，
∴ ，
∴ 數列{f(a_n)}是以f(a₁)=為首項，2為公比的等比數列．
∴                                                8分
（III）由(II)得f(a_n+1)=-2ⁿ，于.
∴ T_n= b₁+ b₂+ b₃+…+ b_n
，
.
∴ .             9分
令
于是，
∴ .
∴ k(n+1)<k(n)，即k(n)在N*上單調遞減，         12分
∴ k(n)_max=k(1)=，
∴ ≥即m≥.
∵ m∈N^*，
∴ m的最小值為7．               14分