Question

設不等式組所表示的平面區域為Dn，記Dn內的整點個數為an(n∈N*)(整點即橫坐標和縱坐標均為整數的點)．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)記數列{an}的前n項和為Sn，且Tn＝.若對于一切的正整數n，總有Tn≤m，求實數m的取值范圍．

 

Answer 1

（1）an＝3n(n∈N*)（2）m≥.

【解析】(1)由x＞0，y＞0，3n－nx＞0，得0＜x＜3.

∴x＝1，或x＝2.∴Dn內的整點在直線x＝1和x＝2上．

記直線y＝－nx＋3n為l，l與直線x＝1、x＝2的交點的縱坐標分別為y1，y2.

則y1＝－n＋3n＝2n，y2＝－2n＋3n＝n.∴an＝3n(n∈N*)．

(2)∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝，

∴Tn＝，∴Tn＋1－Tn＝，

∴當n≥3時，Tn＞Tn＋1，且T1＝1＜T2＝T3＝.

于是T2，T3是數列{Tn}中的最大項，故m≥.