Question

（本題滿分14分）設函數（1）當時，求的最大值；（2）令，（0≤3），其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立，求實數的取值范圍； （3）當，，方程有唯一實數解，求正數的值。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  ≥ （Ⅲ）

解析:

（1）依題意，知的定義域為（0，+∞）當時，，

       （2′）

       令=0，解得.（∵）因為有唯一解，所以

       當時，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減。

       所以的極大值為，此即為最大值。（5′）

   （2），，則有≤，在上恒成立，

       所以≥，（8′）

       當時，取得最大值，所以≥（10′）

   （3）因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解，

       設，則.    令，得.

       因為，，所以（舍去），，

       當時，，在（0，）上單調遞減，

       當時，，在（，+∞）單調遞增

       當時，=0，取最小值.（12′）

       則既

       所以，因為，所以（*）

       設函數，因為當時，是增函數，所以至多有一解。

       因為，所以方程（*）的解為，即，解得.（14′）