Question

已知直線l：4x+3y-8=0（a∈R）過圓C：x²+y²-ax=0的圓心交圓C于A、B兩點，O為坐標原點．
（I）求圓C的方程；
（II） 求圓C在點P（1，

3

）處的切線方程；
（III）求△OAB的面積．

Answer 1

分析：（I）圓C：x²+y²-ax=0的圓心為（

a

2

，0），將圓心坐標代入4x+3y-8=0即可求得a，從而可得圓C的方程；
（II）將點P（1，

3

）的坐標代入x²+y²-4x=0成立，即點P（1，

3

）在x²+y²-4x=0上，設過點P（1，

3

）的切線l₁的斜率為k，利用k_PC•k=-1可求得k，從而可得切線l₁的方程；
 （III）由題意可知，|AB|為圓x²+y²-4x=0的直徑，其長度為4，利用點到直線的距離公式可求得原點（0，0）到直線l：4x+3y-8=0的距離，從而可求△OAB的面積．

解答：解：（I）∵圓C：x²+y²-ax=0的圓心為（

a

2

，0）…（1分）
直線l：4x+3y-8=0過圓C的圓心，
∴4×

a

2

+3×0-8=0，
∴a=4…（3分）
∴圓C的方程為：x²+y²-4x=0…（4分）
（II）∵點P（1，

3

）在x²+y²-4x=0上，且圓心為（2，0）…（5分）
∴設過點P（1，

3

）的切線l₁的斜率為k，過P、C兩點的
直線的斜率為k_PC，則                                             …（6分）
k_PC=

3 -0

1-2

=-

3

…（7分）
∵PC⊥l₁
∴k_PC•k=-1，故k=

3

3

…（8分）
∴切線l₁的方程為y-

3

=

3

3

（x-1），即x-

3

y+2=0…（9分）
（III）∵圓C：x²+y²-4x=0的半徑為2，…（10分）
∴|BC|=2r=4…（11分）
點O（0，0）到直線l：4x+3y-8=0的距離為d=

|0+0-8|

42+32

=

8

5

…（12分）
∴S_△OAB=

1

2

|BC|•d=

1

2

×4×

8

5

=

16

5

…（13分）

點評：本題考查圓的一般方程，考查求圓的切線方程及點到直線的距離公式的應用，突出轉化與方程思想的運用，屬于中檔題．