Question

設偶函數f（x）在（0，+∞）上為減函數，且f（2）=0，則不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0的解集為（　�。�

A．（-2，0）∪（2，+∞）

B．（-∞，-2）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析：根據函數為偶函數，可將原不等式變形為xf（x）＞0，然后分兩種情況討論：當x＞0時有f（x）＞0，根據函數在（0，+∞）上為減函數，且f（2）=0，得到0＜x＜2；當x＜0時有f（x）＜0，結合函數為偶函數的性質與（0，+∞）上的單調性，得x＜-2．

解答：解：∵f（x）是偶函數
∴f（-x）=f（x）
不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0，即

2f(x)

x

＞0
也就是xf（x）＞0
①當x＞0時，有f（x）＞0
∵f（x）在（0，+∞）上為減函數，且f（2）=0
∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；
②當x＜0時，有f（x）＜0
∵-x＞0，f（x）=f（-x）＜f（2），
∴-x＞2⇒x＜-2
綜上所述，原不等式的解集為：（-∞，-2）∪（0，2）
故選B

點評：本題以函數的單調性和奇偶性為載體，考查了抽象不等式的解法，屬于基礎題．