Question

如圖，兩個工廠A，B（視為兩個點）相距2km，現要在以A，B為焦點，長軸長為4km的橢圓上某一點P處建一幢辦公樓．據測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP成反比，比例系數是1；辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP也成反比，比例系數是4．辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設AP=xkm．
（I）求“總噪音影響度”y關于x的函數關系式；
（II）當AP為多少時，“總噪音影響度”最小？（結果保留一位小數）

Answer 1

分析：（I）根據橢圓的定義可知PA+PB=4，從而得到PB，利用辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，即可列出函數關系式；
（II）對函數y的表達式進行變形，構造積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值即可，注意等號成立的條件．

解答：解：（I）∵辦公樓P在以A，B為焦點，長軸長為4km的橢圓上，則有PA+PB=4，故PB=4-x，
∵辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP成反比，比例系數是1，辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP也成反比，比例系數是4，
∴辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y=

1

x

+

4

4-x

，（1≤x≤3），
故“總噪音影響度”y關于x的函數關系式為y=

1

x

+

4

4-x

，（1≤x≤3）；
（II）由（I）可知，y=

1

x

+

4

4-x

，（1≤x≤3），
∴y=

1

x

+

4

4-x

=（

1

x

+

4

4-x

）[x+（4-x）]×

1

4

=

1

4

（5+

4-x

x

+

4x

4-x

）
≥

1

4

（5+2

4-x x • 4x 4-x

）=

9

4

，
當且僅當

4-x

x

=

4x

4-x

，即x=

4

3

≈1.3時取“=”，
∴當x≈1.3時，y取最小值為

9

4

，
故當AP為1.3km時，“總噪音影響度”最�。�

點評：本題主要考查函數模型的選擇與應用．建立數學模型后應用了基本不等式求最值．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．屬于中檔題．