Question

已知向量，令，且f（x）的周期為π．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若時f（x）+m≤3，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵向量=（，cos2ωx），=（sin2ωx，1），（ω＞0）
∴=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）
∵函數的周期T==π，∴ω=1
即函數f（x）的解析式是f（x）=2sin（2x+）；
（II）當時，2x+∈[，]
∴-≤sin（2ωx+）≤1
因此，若時，f（x）∈[-1，2]
∴f（x）+m≤3恒成立，即2+m≤3，解之得m≤1
即實數m的取值范圍是（-∞，1]．
分析：（I）根據向量數量積坐標運算公式，結合輔助角公式化簡整理可得f（x）=2sin（2ωx+），用三角函數周期公式即可得到ω=1，從而得到函數f（x）的解析式；
（II）利用正弦函數的圖象與性質，得到當時f（x）+m的最大值為2+m，結合不等式恒成立的等價條件，即可解出實數m的取值范圍．
點評：本題給出向量的坐標式，求函數的表達式并討論了函數恒成立的問題，著重考查了向量的數量積、三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．