Question

設f(x)是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)α∈(0，1)以及D中的任意兩數(shù)x₁，x₂，恒有f(αx₁＋(1－α)x₂)≤αf(x₁)＋(1－α)f(x₂)，則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù)．

(1)試判斷函數(shù)f₁(x)＝x²，中哪些是各自定義域上的C函數(shù)，并說明理由；

(2)已知f(x)是R上的C函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設a_n＝f(n)，n＝0，1，2…，m，且a₀＝0，a_m＝2m，記S_f＝a₁＋a₂＋…＋a_m．對于滿足條件的任意函數(shù)f(x)，試求S_f的最大值；

(3)若f(x)是定義域為R的函數(shù)，且最小正周期為T，試證明f(x)不是R上的C函數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)是C函數(shù)，證明如下： 　　對任意實數(shù)及， 　　有． 　　即． 　　∴是C函數(shù)．不是C函數(shù)，證明如下： 　　取，，， 　　則． 　　即．∴不是C函數(shù)．　　4分 　　(2)對任意，取，，．是R上的C函數(shù)，，且 　　∴． 　　那么． 　　可證是C函數(shù)，且使得都成立，此時． 　　綜上所述，的最大值為．　　9分 　　(3)假設是R上的C函數(shù)． 　　若存在且，使得． 　　若， 　　記，，，則，且． 　　那么 　　這與矛盾． 　　若，記，，也可得到矛盾． 　　∴在上是常數(shù)函數(shù)， 　　又因為是周期為T的函數(shù)，所以在R上是常數(shù)函數(shù)，這與的最小正周期為T矛盾． 　　所以不是R上的C函數(shù)．　　14分