Question

（本小題滿分14分）

        已知橢圓過點，長軸長為，過點C（-1，0）且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B.

   （1）求橢圓的方程；

   （2）若線段AB中點的橫坐標是求直線l的斜率；

   （3）在x軸上是否存在點M，使是與k無關的常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）（2）（3）

解析:

（1）∵橢圓長軸長為

又∵橢圓過點，代入橢圓方程得

∴橢圓方程為

即                   …………3分

   （2）∵直線且斜率為k，

設直線方程為

由

設∵線段AB中點的橫坐標是

則

即     …………7分

   （3）假設在x軸上存在點，

使是與k無關的常數，

由

設

則         …………9分

是與k無關的常數，設常數為t，

則         …………12分

整理得對任意的k恒成立

，解得

即在x軸上存在點，

使是與k無關的常數.       …………14分