Question

已知橢圓過點,其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數列.直線與軸正半軸和軸分別交于點、，與橢圓分別交于點、,各點均不重合且滿足
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若，試證明：直線過定點并求此定點.

Answer 1

（1） （2）直線過定點(1,0)

解析試題分析：解：(1)設橢圓方程為，焦距為2c，
由題意知 b=1,且，又
得.
所以橢圓的方程為           （5）
(2) 由題意設，設l方程為，
由知
∴，由題意，∴                   7分
同理由知 
∵，∴        （*）      8分
聯立得
∴需         （**）
且有            （***）
（***）代入（*）得，∴，
由題意，∴(滿足（**）)，
得l方程為,過定點(1,0),即P為定點.                    （14）
考點：直線與橢圓的位置關系
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關系的應用，屬于中檔題。